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古代三大算法和算法的公式——开方公式 /王晓明
(博讯北京时间2018年2月01日 来稿)
    
    作者:王晓明
    
    求方根——从方法到公式
    
    求方根是人类最早使用的计算,在有了加减乘除以后,人们就考虑同一数相乘n次的逆运算了。目前在教科书中开方方法还是利用牛顿二项式定理,这种方法需要不断试除,非常麻烦。尽管有了计算机开方,又快又精确,但是,数学家总有心不甘。
    
    下面的公式是利用反馈方法,或者说公式是控制论的方法——反馈计算。下面这个例子被广泛引用在控制论中,成为一个经典的例题。
    
    公式是通过不断迭代越来越精确。
    
    Xr+₁=Xr+(A/Xⁿ﹣1-Xr)/n。。。。.(1)
    
    举例:
    
    一,开立方公式: 
    
    Xr+₁=Xr+(A/X^2r-Xr)/3。。。。(2)
    
    例如,A=5,n=3,即求:
    
    X=3√5
    
    5介于1^3至2^3之间(1的3次方=1,2的3次方=8)
    
    初始值X₁可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。
    
    例如我们取X₁=2。
    
    按照公式:
    
    第一步:X₂=2+(5÷2^2-2)÷3=1.75。输入值大于输出值,负反馈;
    
    即5÷(2×2)=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75÷3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位数。即取2位数值,即1.7。
    
    第二步:X₃=1.7+(5÷1.7^2-1.7)÷3=1.71.输入值小于输出值,正反馈。
    
    即5÷(1.7×1.7)=1.7301,1.7301-1.7=0.031,0.03÷3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。
    
    第三步:3√5等于1.709.
    
    第四步:3√5等于1.7099。又比前面多一位数。
    
    这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值
    
    偏小,输出值自动转大。
    
    当然初始值X₁也可以取1.1,1.2,1.3,。。,1.8,1.9中的任何一个,都是X₂=1.7。例如X₁取1.5:
    
    1.5+(5÷1.5^2-1.5)÷3=1.7。
    
    每一步多取一位数。
    
    计算次数与计算精确度成为正比。
    
    这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。
    
    二,开平方
    
    如果用这个公式开平方,只需将(2)式的X^2改成X^1,3改成2。即
    
    Xr+₁=Xr+(A/X--X)/2。。。.(3)
    
    例如,A=5:√5=x
    
    5介于2^2至3^2之间,即4至9之间。
    
    我们取初始值X₁=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我们最好取
    
    中间值X₁=2.5。
    
    第一步:X₂=2.5+(5/2.5-2.5)/2=2.2;
    
    即5÷2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5÷2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位数2.2。
    
    第二步:X₃=2.2+(5/2.2-2.2)/2=2.23;
    
    即5÷2.2=2.272727,2.272727-2.2=0.072727,0.072727÷2=0.036363,2.2+0.036363=2.23。取3位数。
    
    第三步:√5=2.236。
    
    每一步多取一位数。
    
    计算次数与计算精确度成为正比。
    
    这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。
    
    大家知道蝴蝶效应,初始值细微差别可以导致后面的巨大差别。而相反的是反馈调节,较大的差别可以通过不断迭代接近正确。
    
    (本文原发表在《数学传播》136期,(从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法)台湾中央研究院)

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